선형대수 고유값 고유벡터
선형대수학
임의의 $n \times n$ 행렬 ${\bf A}$에 대하여, 0이 아닌 솔루션 벡터 $\vec{x}$ 가 존재한다면 숫자 $\lambda$ 는 행렬 ${\bf A}$의 고유값이라고 할 수 있다.
${\bf A}\vec{x}$ = $\lambda\vec{x}$
이 때, 솔루션 벡터 $\vec{x}$ 는 고유값 $\lambda$ 에 대응하는 고유벡터이다.
[주의사항1] 영벡터는 고유벡터로 보지 않는다.
${\bf A} \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \dots \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \dots \\ 0\end{bmatrix}$
즉, $\vec{x}$ = 영벡터라면 ${\bf A}\vec{x}$도 영벡터이다.
${\bf A}\vec{x} = \vec{x} = 1\cdot\vec{x} = 2\vec{x} = 3\vec{x} = \dots$ 모든 실수가 고유값임.
[주의사항2] 고유벡터는 무수히 많다.
- $\vec{x}$ : $\lambda$ 에 대한 고유벡터 $\Longrightarrow$ $k\vec{x}$ : $\lambda$ 에 대한 고유벡터
- $2\vec{x}, 3\vec{x}, -\vec{x},\dots$ 역시 모두 고유벡터
- ${\bf A}\vec{x} = \lambda\vec{x}$ $\Longrightarrow A(2\vec{x}) = 2(A\vec{x}) = 2\lambda\vec{x} = \lambda(2\vec{x})$
- $\because 2\vec{x}$ 도 $\lambda$ 에 대한 고유벡터
- $\because$
- $\therefore$
[고유벡터 구하기] $\leftarrow$ 연립일차방정식 $({\bf A}-\lambda{\bf I})\vec{x}=\vec{0}$의 해
(i) $\lambda=1$에 대한 고유벡터 : $\vec{x} = \begin{bmatrix} t\\ t\end{bmatrix},\quad t\neq 0 $
${\bf A} -\lambda{\bf I} = \begin{bmatrix} -1&1\\ 1&-1 \end{bmatrix}$
${\bf A} = \begin{bmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{bmatrix}$
${\bf A} = \begin{bmatrix} 0&1|0\\ 1&0|0\\ \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 0&0|0\\ 1&-1|0 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1&-1|0\\ 0&0|0\\ \end{bmatrix}$
$\vec{x} - \vec{y} = 0$
$\because \begin{cases} x= t \\ y=t \end{cases}$
(ii) $\lambda$ = -1에 대한 고유벡터 : $\vec{x} = \begin{bmatrix}
s\\
-s
\end{bmatrix}$ ($s \neq 0$ )
${\bf A}-\lambda {\bf I}=\begin{bmatrix} 1&1\\ 1&1 \end{bmatrix}$
${\bf A} = \begin{bmatrix} 1&1|0\\ 1&1|0 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1&1|0\\ 0&0|0 \end{bmatrix}$
$\because x + y = 0$
$\because \begin{cases} x= s \\ y=-s \end{cases}$