1주차-3월 07일
빅데이터분석특강
- 가짜자료 생성
import matplotlib.pyplot as plt
import tensorflow as tf
온도 ${\bf x}$가 아래와 같다고 하자.
x=tf.constant([20.1, 22.2, 22.7, 23.3, 24.4, 25.1, 26.2, 27.3, 28.4, 30.4]) # 기온
x
아이스아메리카노의 판매량 ${\bf y}$이 아래와 같다고 하자. (판매량은 정수로 나오겠지만 편의상 소수점도 가능하다고 생각하자) $${\bf y} \approx 10.2 +2.2 {\bf x}$$
- 여기에서 10.2, 2.2 의 숫자는 제가 임의로 정한것임
- 식의의미: 온도가 0일때 10.2잔정도 팔림 + 온도가 1도 증가하면 2.2잔정도 더 팔림
- 물결의의미: 현실반영. 세상은 꼭 수식대로 정확하게 이루어지지 않음.
tf.random.set_seed(43052)
epsilon=tf.random.normal([10])
y=10.2 + 2.2*x + epsilon
y
- 우리는 아래와 같은 자료를 모았다고 생각하자.
tf.transpose(tf.concat([[x],[y]],0))
- 그려보자.
plt.plot(x,y,'.') # 파란점, 관측한 데이터
plt.plot(x,10.2 + 2.2*x, '--') # 주황색점선, 세상의 법칙
- 우리의 목표: 파란색점 $\to$ 주황색점선을 추론 // 데이터를 바탕으로 세상의 법칙을 추론
- 아이디어: 데이터를 보니까 $x$와 $y$가 선형의 관계에 있는듯 보인다. 즉 모든 $i=1,2,\dots, 10$에 대하여 아래를 만족하는 적당한 a,b (혹은 $\beta_0,\beta_1$) 가 존재할것 같다.
- $y_{i} \approx ax_{i}+b$
- $y_{i} \approx \beta_1 x_{i}+\beta_0$
- 어림짐작으로 $a,b$를 알아내보자.
데이터를 살펴보자.
tf.transpose(tf.concat([[x],[y]],0))
적당히 왼쪽*2+15 = 오른쪽의 관계가 성립하는것 같다.
따라서 $a=2, b=15$ 혹은 $\beta_0=15, \beta_1=2$ 로 추론할 수 있겠다.
- 누군가가 $(\beta_0,\beta_1)=(14,2)$ 이라고 주장할 수 있다. (어차피 지금은 감각으로 추론하는 과정이니까)
- 새로운 주장으로 인해서 $(\beta_0,\beta_1)=(15,2)$ 로 볼 수도 있고 $(\beta_0,\beta_1)=(14,2)$ 로 볼 수도 있다. 이중에서 어떠한 추정치가 좋은지 판단할 수 있을까?
- 후보1: $(\beta_0,\beta_1)=(15,2)$
- 후보2: $(\beta_0,\beta_1)=(14,2)$
- 가능한 $y_i \approx \beta_0 + \beta_1 x_i$ 이 되도록 만드는 $(\beta_0,\beta_1)$ 이 좋을 것이다. $\to$ 후보 1,2를 비교해보자.
(관찰에 의한 비교)
후보1에 대해서 $i=1,2$를 넣고 관찰하여 보자.
20.1 * 2 + 15 , 55.418365 # i=1
22.2 * 2 + 15 , 58.194283 # i=2
후보2에 대하여 $i=1,2$를 넣고 관찰하여 보자.
20.1 * 2 + 14 , 55.418365 # i=1
22.2 * 2 + 14 , 58.194283 # i=2
$i=1$인 경우에는 후보1이 더 잘맞는것 같은데 $i=2$인 경우는 후보2가 더 잘맞는것 같다.
(좀 더 체계적인 비교)
$i=1,2,3, \dots, 10$ 에서 후보1과 후보2중 어떤것이 더 좋은지 비교하는 체계적인 방법을 생각해보자.
후보 1,2에 대하여 $\sum_{i=1}^{10} (y_i -\beta_0 -\beta_1 x_i)^2$를 계산하여 비교해보자.
sum1=0
for i in range(10):
sum1=sum1+(y[i]-15-2*x[i])**2
sum2=0
for i in range(10):
sum2=sum2+(y[i]-14-2*x[i])**2
sum1,sum2
후보1이 더 $\sum_{i=1}^{10} (y_i -\beta_0 -\beta_1 x_i)^2$의 값이 작다.
후보1이 종합적으로 후보2에 비하여 좋다. 이 과정을 무한번 반복하면 최적의 추정치를 찾을 수 있다.
- 수학을 이용해서 좀 더 체계적으로 찾아보자. 결국 아래식을 가장 작게 만드는 $\beta_0,\beta_1$을 찾으면 된다.
$\sum_{i=1}^{10} (y_i -\beta_0 -\beta_1 x_i)^2$
그런데 결국 $\beta_0, \beta_1$에 대한 이차식인데 이 식을 최소화하는 $\beta_0,\beta_1$을 구하기 위해서는 아래를 연립하여 풀면된다
$\begin{cases} \frac{\partial}{\partial \beta_0}\sum_{i=1}^{10} (y_i -\beta_0 -\beta_1 x_i)^2=0 \\ \frac{\partial}{\partial \beta_1}\sum_{i=1}^{10} (y_i -\beta_0 -\beta_1 x_i)^2=0 \end{cases}$
- 풀어보자.
$\begin{cases} \sum_{i=1}^{10} -2(y_i -\beta_0 -\beta_1 x_i)=0 \\ \sum_{i=1}^{10} -2x_i(y_i -\beta_0 -\beta_1 x_i)=0 \end{cases}$
정리하면
$$\hat{\beta}_0= \bar{y}-\hat{\beta}_1 \bar{x}$$
$$\hat{\beta}_1= \frac{S_{xy}}{S_{xx}}=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}$$
- 따라서 최적의 추정치 $(\hat{\beta}_0,\hat{\beta}_1)$를 이용한 추세선을 아래와 같이 계산할 수 있음.
Sxx= sum((x-sum(x)/10)**2)
Sxx
Sxy= sum((x-sum(x)/10)*(y-sum(y)/10))
Sxy
beta1_estimated = Sxy/Sxx
beta1_estimated
beta0_estimated = sum(y)/10 - beta1_estimated * sum(x)/10
beta0_estimated
plt.plot(x,y,'.')
plt.plot(x,beta0_estimated + beta1_estimated * x, '--') # 주황색선: 세상의 법칙을 추정한선
plt.plot(x,10.2 + 2.2* x, '--') # 초록색선: ture, 세상의법칙
- 꽤 훌륭한 도구임. 그런데 약간의 단점이 존재한다.
(1) 공식이 좀 복잡함..
(2) $x$가 여러개일 경우 확장이 어려움
- 단점을 극복하기 위해서 우리가 지금까지 했던논의를 매트릭스로 바꾸어서 다시 써보자.
- 모형의 매트릭스화
우리의 모형은 아래와 같다.
$y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + \epsilon_i, \quad i=1,2,\dots,10$
풀어서 쓰면
$\begin{cases} y_1 = \beta_0 +\beta_1 x_1 + \epsilon_1 \\ y_2 = \beta_0 +\beta_1 x_2 + \epsilon_2 \\ \dots \\ y_{10} = \beta_0 +\beta_1 x_{10} + \epsilon_{10} \end{cases}$
아래와 같이 쓸 수 있다.
$\begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \dots \\ y_{10} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & x_1 \\ 1 & x_2 \\ \dots & \dots \\ 1 & x_{10} \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\beta_0 \\ \beta_1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \epsilon_1 \\ \epsilon_2 \\ \dots \\ \epsilon_{10} \end{bmatrix} $
벡터와 매트릭스 형태로 정리하면
${\bf y} = {\bf X} {\boldsymbol \beta} + \boldsymbol{\epsilon}$
- 손실함수의 매트릭스화: 우리가 최소화 하려던 손실함수는 아래와 같다.
$loss=\sum_{i=1}^{n}(y_i-\beta_0-\beta_1x_i)^2$
이것을 벡터표현으로 하면 아래와 같다.
$loss=\sum_{i=1}^{n}(y_i-\beta_0-\beta_1x_i)^2=({\bf y}-{\bf X}{\boldsymbol \beta})^\top({\bf y}-{\bf X}{\boldsymbol \beta})$
풀어보면
$loss=({\bf y}-{\bf X}{\boldsymbol \beta})^\top({\bf y}-{\bf X}{\boldsymbol \beta})={\bf y}^\top {\bf y} - {\bf y}^\top {\bf X}{\boldsymbol\beta} - {\boldsymbol\beta}^\top {\bf X}^\top {\bf y} + {\boldsymbol\beta}^\top {\bf X}^\top {\bf X} {\boldsymbol\beta}$
- 미분하는 과정의 매트릭스화
loss를 최소화하는 ${\boldsymbol \beta}$를 구해야하므로 loss를 ${\boldsymbol \beta}$로 미분한식을 0이라고 놓고 풀면 된다.
$\frac{\partial}{\partial \boldsymbol{\beta}} loss = \frac{\partial}{\partial \boldsymbol{\beta}} {\bf y}^\top {\bf y} - \frac{\partial}{\partial \boldsymbol{\beta}} {\bf y}^\top {\bf X}{\boldsymbol\beta} - \frac{\partial}{\partial \boldsymbol{\beta}} {\boldsymbol\beta}^\top {\bf X}^\top {\bf y} + \frac{\partial}{\partial \boldsymbol{\beta}} {\boldsymbol\beta}^\top {\bf X}^\top {\bf X} {\boldsymbol\beta}$
$= 0 - {\bf X}^\top {\bf y}- {\bf X}^\top {\bf y} + 2{\bf X}^\top {\bf X}{\boldsymbol\beta} $
따라서 $\frac{\partial}{\partial \boldsymbol{\beta}}loss=0$을 풀면 아래와 같다.
$\boldsymbol{\hat\beta}= ({\bf X}^\top {\bf X})^{-1}{\bf X}^\top {\bf y} $
- 공식도 매트릭스로 표현하면: $\boldsymbol{\hat\beta}= ({\bf X}^\top {\bf X})^{-1}{\bf X}^\top {\bf y} $ <-- 외우세요
- 적용을 해보자.
(X를 만드는 방법1)
X=tf.transpose(tf.concat([[[1.0]*10],[x]],0)) #
X
(X를 만드는 방법2)
from tensorflow.python.ops.numpy_ops import np_config
np_config.enable_numpy_behavior()
X=tf.concat([[[1.0]*10],[x]],0).T
X
tf.linalg.inv(X.T @ X) @ X.T @ y
- 잘 구해진다.
- 그런데..
beta0_estimated,beta1_estimated
값이 좀 다르다..?
- 같은 값입니다! 신경쓰지 마세요! 텐서플로우가 좀 대충계산합니다.
import tensorflow.experimental.numpy as tnp
x=tnp.array([20.1, 22.2, 22.7, 23.3, 24.4, 25.1, 26.2, 27.3, 28.4, 30.4])
y=10.2 + 2.2*x + epsilon
beta1_estimated = sum((x-sum(x)/10)*(y-sum(y)/10)) / sum((x-sum(x)/10)**2)
beta0_estimated = sum(y)/10 - beta1_estimated * sum(x)/10
beta0_estimated, beta1_estimated
X=tnp.concatenate([[tnp.array([1.0]*10)],[x]],0).T
tf.linalg.inv(X.T @ X) @ X.T @ y